त्रिभुज कैलकुलेटर: तीन मानों से कोई भी त्रिभुज हल करें
यह त्रिभुज कैलकुलेटर तीन ज्ञात मानों से त्रिभुज की हर छूटी हुई भुजा और कोण निकालता है। चुनें कि आपको क्या पता है — तीनों भुजाएँ (SSS), दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS), दो कोण और उनके बीच की भुजा (ASA), दो कोण और कोई दूसरी भुजा (AAS), या दो भुजाएँ और एक कोण जो उनके बीच नहीं है (SSA) — और यह तीनों भुजाएँ, तीनों कोण, क्षेत्रफल, परिमाप, ऊँचाइयाँ, माध्यिकाएँ, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या, हल और पैमाने पर बने चित्र के साथ देता है।
उलझन वाली SSA स्थिति को यह ईमानदारी से सँभालता है: जब संख्याओं से दो अलग त्रिभुज बन सकते हैं तो यह दोनों दिखाता है और आप उनके बीच बदल सकते हैं, और जब कोई त्रिभुज नहीं बनता तो वजह बताता है। कोण डिग्री या रेडियन में डाल और देख सकते हैं। सारा हिसाब आपके ब्राउज़र में होता है, कुछ भी अपलोड नहीं होता — कोई ऐप इंस्टॉल नहीं करना पड़ता।
“त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं” या “त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र” खोज रहे हैं? दो भुजाएँ और बीच का कोण पता हो तो क्षेत्रफल = ½ab·sin C, और सिर्फ़ तीनों भुजाएँ पता हों तो हीरोन का सूत्र। कैलकुलेटर दोनों तरीकों से क्षेत्रफल निकालकर दिखाता है कि दोनों एक ही जवाब देते हैं।
त्रिभुज कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
- पहले मेन्यू से वह जोड़ चुनें जो आपको पता है (SSS, SAS, ASA, AAS या SSA)।
- तीनों मान डालें। भुजा a कोण A के सामने है, भुजा b कोण B के सामने और भुजा c कोण C के सामने; मोड के साथ लेबल और संकेत बदल जाते हैं।
- डिग्री या रेडियन चुनें और चाहें तो लंबाई की इकाई भी।
- त्रिभुज का प्रकार, हल की गई भुजाएँ और कोण, और नीचे पूरा हल पढ़ें।
- उलझन वाली SSA स्थिति में दोनों हल देखने के लिए त्रिभुज 1 और त्रिभुज 2 के बीच बदलें।
त्रिभुज कैलकुलेटर की खूबियाँ
पाँचों स्थितियाँ
SSS, SAS, ASA, AAS और SSA, हर एक के अपने इनपुट लेबल और पहले से भरे हल किए हुए उदाहरण के साथ।
उलझन वाली स्थिति का हल
SSA में ऊँचाई b·sin A के हिसाब से दो, एक या कोई त्रिभुज नहीं बनता, और पेज बताता है कि कौन-सी बात है।
क्षेत्रफल दो तरीकों से
½ab·sin C से निकला क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र से जाँचा जाता है, ताकि आप देख सकें कि दोनों मेल खाते हैं।
भुजाओं से आगे भी
ऊँचाइयाँ, माध्यिकाएँ, अंतःत्रिज्या, परित्रिज्या, परिमाप और न्यूनकोण विषमबाहु या समकोण समद्विबाहु जैसा वर्गीकरण।
पैमाने पर चित्र
त्रिभुज सही अनुपात में बनता है, भुजाओं और कोणों के लेबल के साथ।
कौन-सा सूत्र किस स्थिति को हल करता है
लगभग सारा काम दो नियम करते हैं। कोसाइन नियम (कोज्या नियम), c² = a² + b² − 2ab·cos C, दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से भुजा निकालता है, या तीनों भुजाएँ पता हों तो कोण। साइन नियम (ज्या नियम), a / sin A = b / sin B = c / sin C, हर भुजा को उसके सामने वाले कोण से जोड़ता है और ASA, AAS और SSA स्थितियाँ हल करता है। त्रिभुज के तीनों कोणों का जोड़ हमेशा 180° (π रेडियन) होता है, जिससे दो कोण पता होने पर आख़िरी कोण मिल जाता है।
क्षेत्रफल किन्हीं दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से निकलता है: ½ab·sin C। जब सिर्फ़ भुजाएँ पता हों, तो हीरोन का सूत्र (फार्मूला) वही संख्या देता है: s = (a + b + c) / 2 लेकर क्षेत्रफल √(s(s − a)(s − b)(s − c)) है। अंतःत्रिज्या क्षेत्रफल ÷ s है, और परित्रिज्या a / (2 sin A)।
| आपको पता है | नाम | मुख्य सूत्र |
|---|---|---|
| 3 भुजाएँ | SSS | कोणों के लिए कोसाइन नियम |
| 2 भुजाएँ + बीच का कोण | SAS | कोसाइन नियम, फिर साइन नियम |
| 2 कोण + बीच की भुजा | ASA | कोणों का जोड़, फिर साइन नियम |
| 2 कोण + दूसरी भुजा | AAS | कोणों का जोड़, फिर साइन नियम |
| 2 भुजाएँ + दूसरा कोण | SSA | साइन नियम (0, 1 या 2 जवाब) |
SSA की उलझन वाली स्थिति (ambiguous case)
दो भुजाएँ और ऐसा कोण पता हो जो उनके बीच नहीं है, तो ज्ञात कोण के सामने वाली भुजा घूमकर आधार को दो जगह छू सकती है। भुजा a की तुलना ऊँचाई h = b·sin A से करें। अगर a, h से छोटी है, तो वह आधार तक नहीं पहुँचती और कोई त्रिभुज नहीं बनता। अगर a, h के बराबर है, तो एक समकोण त्रिभुज बनता है। अगर h, a से छोटी है और a, b से छोटी है, तो दो त्रिभुज बनते हैं जिनके कोण B संपूरक हैं (जोड़ 180°)। अगर a कम से कम b के बराबर है, तो सिर्फ़ एक। अधिक कोण (obtuse) A के लिए सिर्फ़ a > b चलता है।
उदाहरण: a = 6, b = 8 और A = 30° से h = 4 आता है, यानी a ऊँचाई और b के बीच है। एक त्रिभुज में B ≈ 41.81° है, दूसरे में B ≈ 138.19°। दो पाद (legs) या एक पाद और कर्ण वाले समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर ज़्यादा जल्दी है, और दूसरे आकारों के लिए क्षेत्रफल कैलकुलेटर है।
त्रिभुज के प्रकार और सीमाएँ
भुजाओं के हिसाब से त्रिभुज समबाहु (सब बराबर), समद्विबाहु (दो बराबर) या विषमबाहु (कोई बराबर नहीं) होता है। कोणों के हिसाब से न्यूनकोण (सब 90° से कम), समकोण (एक 90° का) या अधिककोण (एक 90° से ज़्यादा)। बराबरी तय करते समय टूल बहुत छोटी छूट (tolerance) रखता है, ताकि 3-4-5 जैसे मान राउंडिंग के बावजूद समकोण पहचाने जाएँ।
नतीजे दशमलव के बाद छह अंकों तक दिखते हैं और उतने ही सटीक हैं जितनी आपकी डाली हुई संख्याएँ। असल दुनिया में नापी गई भुजाओं में नाप की गलती रहती है, इसलिए लगभग चपटे त्रिभुज (जिनका एक कोण 0° या 180° के पास हो) इनपुट में छोटे बदलाव से बहुत बदल सकते हैं। यह गणित का टूल है, ज़मीन नापने (सर्वे) का उपकरण नहीं।
त्रिभुज कैलकुलेटर: अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
तीन भुजाओं से त्रिभुज के कोण कैसे निकाले?
SSS चुनें, भुजाएँ डालें और कोण पढ़ें। टूल कोसाइन नियम cos A = (b² + c² − a²) / 2bc और तीसरे कोण के लिए कोणों का जोड़ इस्तेमाल करता है। भुजाओं को त्रिभुज असमिका माननी चाहिए: हर भुजा बाक़ी दो के जोड़ से छोटी हो।
त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो तो क्षेत्रफल ½ab·sin C है। तीनों भुजाएँ पता हों तो हीरोन का सूत्र (फार्मूला) √(s(s − a)(s − b)(s − c)) लगाएँ। कैलकुलेटर दोनों दिखाता है और दोनों मेल खाते हैं।
क्या इसे समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर की तरह इस्तेमाल कर सकते हैं?
हाँ। समकोण त्रिभुज वाला कोई भी जोड़ डालें, जैसे 90° कोण के साथ SAS या 3, 4, 5 के साथ SSS, और प्रकार में समकोण (right) दिखेगा। पाद और कर्ण के लिए अलग टूल, त्रिक (triples) और सटीक मूलों के साथ, पाइथागोरस प्रमेय कैलकुलेटर है।
SSA में कभी-कभी दो त्रिभुज क्यों बनते हैं?
ज्ञात कोण के सामने वाली भुजा आधार को दो बिंदुओं पर छू सकती है, जब वह ऊँचाई b·sin A से लंबी लेकिन भुजा b से छोटी हो। दोनों त्रिभुजों के कोण B और B′ = 180° − B संपूरक होते हैं।
यह क्यों कहता है कि कोई त्रिभुज नहीं बनता?
या तो भुजाएँ त्रिभुज असमिका तोड़ती हैं, या कोणों का जोड़ 180° या उससे ज़्यादा है, या SSA स्थिति में सामने वाली भुजा ऊँचाई b·sin A से छोटी है।
क्या यह रेडियन में काम करता है?
हाँ। कोण की इकाई रेडियन करें और 90° के लिए 1.5708 जैसे कोण डालें। कोण चुनी हुई इकाई में दिखते हैं; चित्र के लेबल डिग्री में रहते हैं।