बीजगणित के होमवर्क, इंजीनियरिंग की जाँच और झटपट मूल निकालने के लिए एक समीकरण सॉल्वर
यह समीकरण सॉल्वर समीकरण को वैसे ही लेता है जैसे आप उसे कागज़ पर लिखते हैं — x^3 + x − 2 = 0, 3(x − 2) = 2x + 1, cos(x) = x — और हर हल, पूरे हल किए कदमों के साथ, देता है। बहुपद समीकरण सटीक हल होते हैं: रैखिक और द्विघात समीकरण हमेशा, त्रिघात और चतुर्घात (और उससे ऊँची घात वाले) समीकरण तब जब उनके परिमेय मूल हों, और बचे हुए द्विघात गुणनखंड के लिए (−1 ± i√7)/2 जैसी करणी के साथ। जब कोई छोटा सटीक रूप नहीं होता, तो मूल लगभग 15 सार्थक अंकों तक संख्यात्मक रूप से निकाले जाते हैं और साफ़ लिखा होता है कि वे संख्यात्मक हैं।
दो से छह अज्ञात हल करने के लिए रैखिक समीकरण निकाय (System of linear equations) पर जाएँ — गॉस-जॉर्डन विलोपन से। हर पिवट के बाद संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) दिखता है, हल को प्रतिस्थापन से जाँचा जाता है, और 4×4 तक के वर्ग निकायों के लिए क्रेमर का नियम भी जाँच के तौर पर हल किया जाता है। जिन निकायों का कोई हल नहीं या अनगिनत हल हैं, उन्हें पहचानकर समझाया जाता है, मुक्त चरों समेत।
सब कुछ आपके ब्राउज़र में चलता है, कोई ऐप इंस्टॉल नहीं करना पड़ता। सिर्फ़ बहुपद से अलग समीकरणों के लिए math.js (Apache-2.0) CDN से लोड होता है, ताकि संख्यात्मक मूल खोजने के लिए sin, exp और log जैसे फ़ंक्शन पढ़े जा सकें। “समीकरण हल करो”, “समीकरण हल कीजिए” या “गणित हल करो” वाले स्कूल के सवालों के लिए समीकरण बस टाइप करें।
समीकरण सॉल्वर का इस्तेमाल कैसे करें
- “एक समीकरण” या “रैखिक समीकरण निकाय” चुनें।
- समीकरण टाइप करें। घात के लिए ^ (या ², ³), गुणा के लिए * या सीधे साथ-साथ लिखना (2x, 3(x − 1)), भाग के लिए / और कोष्ठक जितने चाहें इस्तेमाल करें। अगर “=” नहीं है, तो व्यंजक को 0 के बराबर माना जाता है।
- त्रिकोणमितीय, घातांकी या लघुगणकीय समीकरणों के लिए खोज की रेंज तय करें — सॉल्वर “से” और “तक” के बीच हर वास्तविक मूल ढूँढता है। अगर समीकरण में दूसरे अक्षर भी हैं तो चर का नाम लिखें।
- निकाय के लिए हर लाइन में एक समीकरण लिखें, x, y, z या x1, x2 जैसे अक्षरों या नामों के साथ।
- नतीजे वाले पैनल में हल पढ़ें, फिर नंबर वाले कदम देखें, मूलों के निशान वाला f(x) का ग्राफ़ जाँचें, और हल साथ ले जाने के लिए “LaTeX कॉपी करें” या “हल कॉपी करें” इस्तेमाल करें।
समीकरण सॉल्वर की खूबियाँ
सटीक बीजगणित
गुणांक सटीक भिन्नों के रूप में रखे जाते हैं, इसलिए 2x² − x − 1 के मूल 0.49999 नहीं, 1 और −1/2 दिखते हैं।
परिमेय मूल प्रमेय, कदम-दर-कदम
त्रिघात और चतुर्घात के लिए संभावित मूल p/q की सूची बनती है, उन्हें सटीक जाँचा जाता है और संश्लिष्ट भाग (synthetic division) से अलग किया जाता है, ठीक वैसे जैसे यह तरीका पढ़ाया जाता है।
बाक़ी सबके लिए संख्यात्मक हल
चिह्न बदलने की जाँच, द्विभाजन (bisection) और न्यूटन विधि से e^x = 3x या sin(x) = x/2 जैसे समीकरणों के वास्तविक मूल आपकी चुनी रेंज में मिलते हैं, शेष (residual) के साथ।
निकाय का पूरा हल
संवर्धित आव्यूह, हर पंक्ति संक्रिया, कोटि (rank), एकमात्र / अनगिनत / कोई हल नहीं का फ़ैसला, और वर्ग निकायों के लिए क्रेमर का नियम।
मूलों के पास ग्राफ़
f(x) का SVG ग्राफ़, हर वास्तविक मूल पर निशान के साथ, जिससे बहुलता (multiplicity) और बाल-बाल चूके मूल एक नज़र में दिखते हैं।
LaTeX और सादा टेक्स्ट
समीकरण और हल LaTeX के रूप में कॉपी होते हैं; कदम नंबर वाले सादे टेक्स्ट के रूप में।
सॉल्वर कैसे तय करता है कि क्या करना है
इनपुट को पहले सटीक परिमेय गुणांकों वाले बहुपद के रूप में पढ़ा जाता है। अगर यह हो जाता है, तो घात से तरीका तय होता है; अगर समीकरण में कोई फ़ंक्शन, हर में चर या ग़ैर-पूर्णांक घात होने की वजह से यह नहीं हो पाता, तो संख्यात्मक सॉल्वर काम सँभालता है।
| घात / प्रकार | तरीका | नतीजा |
|---|---|---|
| 1 (रैखिक) | x को अलग करना | सटीक भिन्न |
| 2 (द्विघात) | विविक्तकर और द्विघात सूत्र | सटीक: परिमेय, करणी या सम्मिश्र |
| 3, 4 और ऊँची घात | परिमेय मूल प्रमेय + संश्लिष्ट भाग, फिर आख़िरी गुणनखंड पर द्विघात सूत्र | पर्याप्त परिमेय मूल हों तो सटीक; वरना संख्यात्मक (Durand–Kerner + न्यूटन) |
| बहुपद नहीं | चिह्न बदलने की जाँच, द्विभाजन, न्यूटन | खोज की रेंज में संख्यात्मक वास्तविक मूल |
| रैखिक निकाय | गॉस-जॉर्डन विलोपन (+ क्रेमर के नियम से जाँच) | सटीक एकमात्र हल, प्राचलिक (parametric) हल या “कोई हल नहीं” |
हल किया हुआ उदाहरण: x³ + x − 2 = 0
अचर पद −2 है और अग्र गुणांक 1, इसलिए परिमेय मूल प्रमेय के हिसाब से कोई भी परिमेय मूल ±1, ±2 में से ही होगा। x = 1 रखने पर 1 + 1 − 2 = 0 आता है, इसलिए x = 1 एक मूल है। (x − 1) से संश्लिष्ट भाग करने पर x² + x + 2 बचता है। इसका विविक्तकर 1 − 8 = −7 है, इसलिए द्विघात सूत्र से x = (−1 ± i√7)/2 मिलता है। यानी समीकरण का एक वास्तविक हल x = 1 है और दो सम्मिश्र संयुग्मी हल हैं, जिसकी पुष्टि ग्राफ़ करता है जो अक्ष को ठीक एक बार काटता है।
अगर कोई परिमेय मूल न होता — जैसे x³ − 2 = 0 — तो सॉल्वर वास्तविक मूल संख्यात्मक रूप से (1.259921…, यानी ∛2) और सम्मिश्र जोड़ी बताता, और यह बात साफ़ लिखता।
सुझाव और सीमाएँ
- सिर्फ़ द्विघात समीकरणों के लिए द्विघात समीकरण सॉल्वर शीर्ष (vertex), सममिति अक्ष और परवलय का ग्राफ़ भी देता है।
- संख्यात्मक मोड सिर्फ़ खोज की रेंज के अंदर के वास्तविक मूल ढूँढता है, और सिर्फ़ वहाँ जहाँ f का चिह्न बदलता है या वह शून्य को छूता है; कोई मूल छूट रहा हो तो रेंज बढ़ाएँ। tan(x) या 1/x जैसी छलाँगें पहचानकर छोड़ दी जाती हैं।
- निकाय तब “रैखिक” है जब हर अज्ञात पहली घात में हो और किसी दूसरे अज्ञात से गुणा न हो। xy या x² जैसे गुणनफल साफ़ संदेश के साथ लौटा दिए जाते हैं।
- मैट्रिक्स कैलकुलेटर आपके टाइप किए किसी भी आव्यूह पर यही विलोपन करता है, और सारणिक कैलकुलेटर वे सारणिक खोलता है जो क्रेमर का नियम इस्तेमाल करता है।
समीकरण सॉल्वर: अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
इस समीकरण सॉल्वर से त्रिघात समीकरण कैसे हल करें?
उसे वैसे ही टाइप करें जैसे लिखा है, जैसे x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0। सॉल्वर परिमेय मूल के संभावित मान लिखता है, उन्हें जाँचता है, हर मूल को अलग करता है और बचा हुआ द्विघात सटीक हल करता है — यहाँ x = 1, 2, 3 मिलते हैं।
क्या यह sin, cos, e या log वाले समीकरण हल कर सकता है?
हाँ। जो समीकरण बहुपद नहीं हैं, वे संख्यात्मक रूप से हल होते हैं। खोज की रेंज तय करें (डिफ़ॉल्ट −10 से 10) और सॉल्वर उसमें हर वास्तविक मूल, हर एक के शेष |f(x)| के साथ, देता है।
क्या यह तीन अज्ञात वाले युगपत समीकरण हल करता है?
हाँ — छह अज्ञात और आठ समीकरणों तक। निकाय मोड पर जाएँ, हर लाइन में एक समीकरण लिखें, और आपको संवर्धित आव्यूह वाला विलोपन, हल और वर्ग निकायों के लिए क्रेमर के नियम से जाँच मिलती है।
“Infinitely many solutions” (अनगिनत हल) का क्या मतलब है?
समीकरण संगत हैं लेकिन स्वतंत्र नहीं, इसलिए एक या ज़्यादा अज्ञात मुक्त हैं। सॉल्वर बाक़ी अज्ञातों को मुक्त चरों के रूप में लिखता है, जैसे x = 3 − y − z।
कोई मूल सटीक की जगह संख्यात्मक क्यों दिखता है?
पढ़ने लायक सटीक रूप तभी होता है जब बहुपद परिमेय संख्याओं पर द्विघात टुकड़ों तक गुणनखंडित हो जाए। अगर नहीं होता — जैसे x³ − 2 = 0 या ज़्यादातर चतुर्घात — तो मूल अपरिमेय संख्याएँ हैं जिन्हें संख्यात्मक रूप में देना ही बेहतर है।
क्या कुछ सर्वर पर भेजा जाता है?
नहीं। समीकरण पढ़ना और हल करना आपके ब्राउज़र में होता है।